Areasatsen vad är det

•

Areasatssen är en matematisk sats som beskriver förhållandet mellan sidorna i en triangel och dess area. Om du känner till två sidor i en triangel och deras mellanliggande vinkeln så kan areasatsen användas för att beräkna arean. Denna sats tillhör de så kallade triangelsatserna tillsammans med cosinussatsen och sinussatsen.

Så definieras areasatsen

Nedan ser du en figur på triangeln med sidorna a, b och c samt hörnen med vinklarna A, B och C.

Areasatsen säger att

\text{Area} = \frac{\sin A \cdot c \cdot b}{2}= \frac{\sin B \cdot a \cdot c}{2}= \frac{\sin C \cdot a \cdot b}{2}

Det här sambandet kan alltså användas för att beräkna en triangels area om vi känner till två sidor och deras mellanliggande vinkel.

Exempel på användning av areasatsen

Exempel 1: Bestäm triangelns area

Med hjälp av areasatsen så kan vi bestämma triangelns area.

\text{A} = \frac{\sin 24^{\circ} \cdot 16 \cdot 12}{2} ≈ 39\,a.e.

Exempel 2: Bestäm sidan x i triangeln om dessa area är 2,6 cm^2

Med hjälp av areasatsen kan vi ställa upp och lösa ekvationen

\frac{\sin 60^{\circ} \cdot x \cdot 3}{2} = 2,6

Multiplicera bägge leden med 2

\sin 60^{\circ} \cdot x \cdot 3 = 5,2

Dela bägge l

•

Areasatsen är ett av dem tre triangelsatserna tillsammans tillsammans sinussatsen samt cosinussatsen.

Med hjälp av denna sats är kapabel du beräkna arean till en triangel när ni känner mot längden från två från triangelns sidor samt den mellanliggande vinkeln. Alltså vinkeln vars vinkelben motsvarar dem två kända längderna. Satsen ger följande.

Areasatsen

För en triangel $ABC$ ges arean från följande kvot.

$\text{Area}=$Area=$\frac{a\text{ }b\text{ }\sin C}{2}$sin2

där $C$ existerar mellanliggande vinkel för sidorna $a$ samt $b$

Då detta finns tre vinklar inom samma triangel gäller sålunda klart för att likhet råden mellan nästa tre kvoter, eftersom för att de varenda motsvarar identisk triangels area.

$\frac{a\text{ }b\cdot\sin C}{2}=\frac{b\text{ }c\cdot\sin A}{2}=\frac{a\text{ }c\cdot\sin B}{2}$·sin2=·sin2=·sin2

Vi använder oss alltså från en från de tre kvoterna inom taget till att beräkna en triangels area. Vilken vi väljer beror vid vilka sidor och vinklar på triangeln som existerar kända på grund av oss.

Exempel 1

Beräkna triangelns area

Lösning

Vi beräknar arean med hjälp av areasatsen. Den ger att

$Area=$=$\frac{2,6\cdot5,0\cdot\sin68^{\circ}}{2}\approx$2,6·5,0·sin68^∘2≈$6,03$6,03

Vi svarar här tillsammans med enheten areaen

•

Areasatsen

I tidigare avsnitt har vi använt trigonometri för räta trianglar, nu går vi vidare till användning av godtyckliga trianglar, som kan ha vilka vinklar som helst. Vi behöver också ha med oss från Matte 1-kursen när vi lärde vi oss sambandet mellan en triangels area (A) och dess bas (b) och höjd (h):

$$A=\frac{b\cdot h}{2}$$

Det här sambandet innebär att om vi vill veta en triangels area så kan vi beräkna den om vi känner till dess bas och höjd. Men finns det något bra sätt att beräkna arean om vi inte känner till denna information? Ja, det kan vi göra med hjälp av areasatsen, som lyder:

$$Area=\frac{b\cdot c\cdot \sin (\alpha)}{2}$$

I areasatsen är b och c två av triangelns sidor och $\alpha$ är den vinkel som ligger mellan dessa båda sidor, enligt triangeln nedan:

Om vi får en given area och två sidor och med hjälp av areasatsen istället vill hitta vinkeln mellan sidorna så kommer vi få en ekvation som tillslut kommer vara av typen $\sin v = k$ där v kommer vara vinkeln vi letar efter och k någon konstant, och vi vet sen tidigare avsnittet om trigonometriska ekvationer att sinus kommer ha två lösningar mellan 0≤ v≤ °, vilket är möjliga vinklar