Skärningspunkt ekvation

Från gymnasiemattens inledande kurser fick vi lära oss hur ekvationssystem löses när numeriskt värde linjära funktioner skär varandra i ett punkt. inom denna undervisning vill oss utvidga detta koncept då vi oftast inte kommer ha numeriskt värde linjer samt skärningen ofta inte bara är inom en enda punkt.

Skärning mellan två linjer

Två icke-parallella linjer som existerar definierade inom har ständigt en skärningspunkt någonstans. på grund av att hitta den punkten ställs en ekvationssystem upp med varenda linjes normalekvation där variablernas värden bör beräknas. Detta kan göras genom substitutionsmetoden eller additionsmetoden. Då detta är en område liksom berörts inom gymnasiekurserna kommer vi ej gå igenom dessa.

Skärning mellan ett program och enstaka linje

Säg för att vi besitter en linje och en plan, definierat i , då kommer linjen ej kunna existera definierad inom normalform utan måste existera beskriven genom parametrarform.

Planet existerar vanligtvis definierat på normalformen . dem eventuella skärningspunkterna kan uppstå i tre olika former:

• Linjen är parallell med planet och ligger inte i planet: inga skärningspunkter

• Linjen existerar parallell tillsammans planet och ligger i planet: oändligt med skärningspunkter

• Linjen är inte parallel

  •

  Skärningspunkter för cirkel och linje

  Bestäm skärningspunkterna för linjen \( y=x \) och cirkeln \( x^2+y^2=4 \).

  Lösning

  Situationen är följande:

  Vi löser ekvationssystemet

  \( \left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x \\ x^2+y^2 & = & 4 \\ \end{array} \right. \)

  Vi ersätter \( y \) med \( x \) i den andra ekvationen och får

  \( \begin{array}{rcl} x^2+x^2 & = & 4 \\ 2x^2 & = & 4 \\ x^2 & = & 2 \\ x & = & \pm \sqrt{2}\\ \end{array} \)

  Eftersom \( y=x \) så är skärningspunkterna \( (\sqrt{2},\sqrt{2}) \) och \( (\sqrt{2},-\sqrt{2}) \).

  Exempel 1Bestäm skärningspunkten för cirkeln \( (x+1)^2+(y-2)^2=4 \) och linjen \( y=4 \).

  Lösning

  Sitationen är följande:

  Vi bildar ekvationssystemet

  \( \left\{ \begin{array}{rcll} (x+1)^2+(y-2)^2 & = & 4 & (1.) \\ y & = & 4 & (2.)\\ \end{array} \right. \)

  Vi sätter in ekvation (2.) i (1.) och får

  \( \begin{array}{rcl}(x+1)^2+()^2 & = & 4 \\x^2+2x+1+4 & = & 4 \\x^2+2x+1 & = & 0 \\(x+1)^2 & = & 0 \\x+1 & = & 0 \\x & = & -1 \\\end{array} \)

  Då \( x=-1 \) får vi \( y \) genom insättning,

  \( \begin{array}{rcl} (-1+1)^2+(y-2)^2 & = & 4 \\ y^y +4 & = & 4 \\ y^2 -4y & = & 0 \\ y(y-4) & = & 0 \\ y=0 & \vee & y-4=0 \\ & & y=4\\ \end{a

  •

  Som vi tidigare nämnde gäller att ekvationssystemets lösning motsvarar de värden på variablerna som ger en lösning till alla ekvationssystemets ekvationer visar ett exempel för att förtydliga vad vi menar.

  Exempel 1

  Kontrollera algebraiskt om

  $\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$

  är en lösning till ekvationssystemet

  $\begin{cases} y=-x+2 \\ y=x+4 \end{cases}$

  Lösning

  Om vänsterleden är lika med högerleden i de bägge ekvationerna, när vi ersätter $x$ och $y$  med sina värden, är det en lösning.

  Vi numrerar ekvationerna för att lättar kunna särskilja dem.

  $\begin{cases} y=-x+2 \,\,\,(1)\\ y=x+4\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{cases}$

  Sedan sätter vi in värdena $x=-1$=−1 och $y=3$=3 i respektive ekvation och undersöker om värdena uppfyller likheterna.

  Kontroll ekvation (1)

  $\text{ }3=-\left(-1\right)+2$ 3=−(−1)+2
  $3=1+2$3=1+2
  $3=3$3=3
  Likheten stämmer!

  Kontroll ekvation (2)

  $3=-1+4$3=−1+4
  $3=3$3=3
  Likheten stämmer!

  Den föreslagna lösningen till ekvationssystemet stämmer, eftersom att $x$ och $y$ uppfyller likheten i båda ekvation.

•